Question

数列一题

已知数列｛an｝的前n项和为Sn=3n^2+5n,在数列｛bn｝中，b1=8,
64b(n+1)-bn=0,是否存在常数c，使对任意的自然数n,an+logcbn(c为底数）恒为常数m,若存在，求常数c和m的值；若不存在，说明理由

Answer 1

当n=1时 a1=S1=3*1+5=8
当n≥2时 an=Sn-S（n-1)
=6n + 2 （经检验a1=8满足）
综上可得an=6n + 2
64b(n+1)-bn=0即b(n+1)/bn= 1/64
所以bn是一个首项b1=8，公比q=1/64的等比数列

（ LZ应该知道这个吧：若an为等比数列， 则lg an为等差数列 我还是证明一下 吧
lg an -lg a（n-1)=lg an/a(n-1)=lg q，
公差就是lg q 呵呵logcbn是等差数列 ）

则logcbn=logcb1 +（n-1)logc1/64
=logc8 +（n-1)logc8的负2次方
=（3-2n）logc8

因为存在常数c，使对任意的自然数nan+logcbn(c为底数）恒为常数m。
所以an+logcbn=6n+2+（3-2n）logc8在这个式子中应该消去n这个参数 所以可以看出logc8应该等于3
则c=2 所以m=11
呵呵 完了 这几天我刚好要复习数列 祝我们共同进步吧！ =^_^=