Question

在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且asinB-bcosC=ccosB．（Ⅰ）判断△ABC的形状；（Ⅱ）若f（

在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且asinB-bcosC=ccosB．（Ⅰ）判断△ABC的形状；（Ⅱ）若f（x）=sinx+cosx，求f（A）的最大值．

Answer 1

（Ⅰ）（法1）因为asinB-bcosC=ccosB， 由正弦定理可得sinAsinB-sinBcosC=sinCcosB．…（3分） 即sinAsinB=sinCcosB+cosCsinB， 所以sin（C+B）=sinAsinB．…（4分） 因为在△ABC中，A+B+C=π， 所以sinA=sinAsinB又sinA≠0，…（5分） 所以sinB=1， B= π 2 ． 所以△ABC为 B= π 2 的直角三角形．…（6分） （法2）因为asinB-bcosC=ccosB， 由余弦定理可得 asinB=b? a 2 + b 2 - c 2 2ab +c? a 2 + c 2 - b 2 2ac ，…（4分） 所以asinB=a． 因为a≠0，所以sinB=1．…（5分） 所以在△ABC中， B= π 2 ． 所以△ABC为 B= π 2 的直角三角形．…（6分） （Ⅱ）因为 f(x)=sinx+cosx= 2 sin(x+ π 4 ) ，…（8分） 所以 f(A)= 2 sin(A+ π 4 ) ．…（9分） 因为△ABC是 B= π 2 的直角三角形， 所以 0＜A＜ π 2 ，…（10分） 所以 π 4 ＜A+ π 4 ＜ 3π 4 ，…（11分） 所以 2 2 ＜sin(A+ π 4 )≤1 ．…（12分） 即f（A）的最大值为 2 ．…（13分）