Question

如图，在直角坐标系中，点A、B的坐标分别为（-3，0）、（0，3）．（1）一次函数图象上的两点P、Q在直线AB

如图，在直角坐标系中，点A、B的坐标分别为（-3，0）、（0，3）．（1）一次函数图象上的两点P、Q在直线AB的同侧，且直线PQ与y轴交点的纵坐标大于3，若△PAB与△QAB的面积都等于3，求这个一次函数的解析式；（2）二次函数的图象经过点A、B，其顶点C在x轴的上方且在直线PQ上，求这个二次函数的解析式；（3）若使（2）中所确定的抛物线的开口方向不变，顶点C在直线PQ上运动，当点C运动到点C′时，抛物线在x轴上截得的线段长为6，求点C′的坐标．

Answer 1

解答：解：（1）由已知，不妨设直线PQ与x轴、y轴的交点分别为P、Q；
∵S_△QAB=3，即

1

2

BQ?AO=3，而AO=3，可求得BQ=2；
∵直线PQ与y轴交点的纵坐标大于3，
∴点Q的坐标为（0，5）；
同样可求得PA=2；
由于P、Q两点在直线AB的同侧，
所以点P的坐标为（-5，0）；
设直线PQ的解析式为y=kx+b，则

?5k+b＝0 b＝5

，
解得

k＝1 b＝5

，
因此所求一次函数的解析式为y=x+5；（3分）

（2）设二次函数的解析式为y=ax²+bx+c；
∵二次函数的图象过A（-3，0）、B（0，3）两点，
∴9a-3b+c=0 ①，c=3 ②
将②代入①，
解得b=3a+1；
于是二次函数的解析式为y=ax²+（3a+1）x+3；（4分）
其顶点C的坐标为（?

3a+1

2a

，

12a?(3a+1)2

4a

）；
∵点C在直线y=x+5上，
∴

12a?(3a+1)2

4a

=?

3a+1

2a

+5；
整理，得9a²+8a-1=0，
解这个方程，得a1＝

1

9

，a₂=-1；
经检验a₁=

1

9

，a₂=-1都是原方程的根；（5分）
但抛物线的顶点C在x轴的上方，且过A、B两点，
所以抛物线开口向下，将a=

1

9

舍去，取a=-1；
∴所求的二次函数的解析式为y=-x²-2x+3；（6分）

（3）解法一：设点C′的横坐标为m；
由于点C′在直线y=x+5上，可求出点C′的纵坐标为m+5；
即点C′的坐标为（m，m+5）；
则运动后以C′为顶点的抛物线的解析式为
y=-（x-m）²+m+5；（7分）
设运动后的抛物线在对称轴右侧与x轴交点的横坐标为x₀，
由已知，有x₀=m+3；
即抛物线与x轴一个交点的坐标为（m+3，0）
∴0=-（m+3-m）²+m+5；
解得m=4；（8分）
∴m+5=9，于是点C′的坐标为（4，9）；（9分）
解法二：
同解法一求得以C′为顶点的抛物线的解析式为y=-（x-m）²+m+5；（7分）
即y=-x²+2mx-m²+m+5，
设这条抛物线与x轴的交点为（x₁，0）、（x₂，0）
∴x₁+x₂=2m，x₁?x₂=m²-m-5；
由已知|x₁-x₂|=6，
则（x₁-x₂）²=（x₁+x₂）²-4x₁x₂=36，即（2m）²-4（m²-m-5）=36，
解得m=4；（8分）
∴m+5=9，于是点C′的坐标为（4，9）．（9分）