Question

已知f（x）是定义在[-1，1]上的奇函数，且f（1）=1，若a，b∈[-1，1]，a+b≠0时，都有f(a)+f(b)a+b＞0．

已知f（x）是定义在[-1，1]上的奇函数，且f（1）=1，若a，b∈[-1，1]，a+b≠0时，都有f(a)+f(b)a+b＞0．（1）证明函数f（x）在[-1，1]上是增函数；（2）解不等式：f（1x?1）＞0；（3）若f（x）≤m2-2pm+1对所有x∈[-1，1]，任意p∈[-1，1]恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

（1）任取x₁、x₂∈[-1，1]，且x₁＜x₂，则-x₂∈[-1，1]．又f（x）是奇函数，于是
f（x₁）-f（x₂）=f（x₁）+f（-x₂）=

f(x1)+f(?x2)

x1+(?x2)

?（x₁-x₂）．
据已知

f(x1)+f(?x2)

x1+(?x2)

＞0，x₁-x₂＜0，
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂）．
∴f（x）在[-1，1]上是增函数．
（2）∵f（x）是定义在[-1，1]上的奇函数，
∴f（0）=0，
由f（x）在[-1，1]上是增函数知：
若f（

1

x?1

）＞0=f（0），
则

1

x?1

∈(0，1]，
解得1＜x≤2，
故不等式的解集为（1，2]，
（3）由（1）知f（x）最大值为f（1）=1，
所以要使f（x）≤m²-2pm+1对所有的x∈[-1，1]恒成立，
只需1≤m²-2pm+1成立，即m（m-2p）≥0．
①当p∈[-1，0）时，m的取值范围为（-∞，2p]∪[0，+∞）；
②当p∈（0，1]时，m的取值范围为（-∞，0]∪[2p，+∞）；
③当p=0时，m的取值范围为R．