Question

已知△ABC是等边三角形．（1）将△ABC绕点A逆时针旋转角θ（0°＜θ＜180°），得到△ADE，BD和EC所在直

已知△ABC是等边三角形．（1）将△ABC绕点A逆时针旋转角θ（0°＜θ＜180°），得到△ADE，BD和EC所在直线相交于点O．①如图a，当θ=20°时，△ABD与△ACE是否全等？______（填“是”或“否”），∠BOE=______度；②当△ABC旋转到如图b所在位置时，求∠BOE的度数；（2）如图c，在AB和AC上分别截取点B′和C′，使AB= 3 AB′，AC= 3 AC′，连接B′C′，将△AB′C′绕点A逆时针旋转角（0°＜θ＜180°），得到△ADE，BD和EC所在直线相交于点O，请利用图c探索∠BOE的度数，直接写出结果，不必说明理由．

Answer 1

（1）①∵△ADE是由△ABC绕点A旋转θ得到，△ABC是等边三角形， ∴AB=AD=AC=AE，∠BAD=∠CAE=20°， 在△ABD与△ACE中， AB=AC ∠BAD=∠CAE AD=AE ， ∴△ABD≌△ACE（SAS）； ∵θ=20°， ∴∠ABD=∠AEC= 1 2 （180°-20°）=80°， 又∵∠BAE=θ+∠BAC=20°+60°=80°， ∴在四边形ABOE中，∠BOE=360°-80°-80°-80°=120°； ②由已知得：△ABC和△ADE是全等的等边三角形， ∴AB=AD=AC=AE， ∵△ADE是由△ABC绕点A旋转θ得到的， ∴∠BAD=∠CAE=θ， ∴△BAD≌△CAE， ∴∠ADB=∠AEC， ∵∠ADB+∠ABD+∠BAD=180°， ∴∠AEC+∠ABD+∠BAD=180°， ∵∠ABO+∠AEC+∠BAE+∠BOE=360°， ∵∠BAE=∠BAD+∠DAE， ∴∠DAE+∠BOE=180°， 又∵∠DAE=60°， ∴∠BOE=120°； （2）如图，∵AB= 3 AB′，AC= 3 AC′， ∴ AB′ AB = AC′ AC = 3 3 ， ∴B′C′ ∥ BC， ∵△ABC是等边三角形， ∴△AB′C′是等边三角形， 根据旋转变换的性质可得AD=AE，∠BAD=∠CAE， 在△ABD和△ACE中， AB=AC ∠BAD=∠CAE AD=AE ， ∴△ABD≌△ACE（SAS）， ∴∠ABD=∠ACE， ∴∠BOC=180°-（∠OBC+∠OCB）， =180°-（∠OBC+∠ACB+∠ACE）， =180°-（∠OBC+∠ACB+∠ABD）， =180°-（∠ACB+∠ABC）， =180°-（60°+60°）， =60°， 当0°＜θ＜30°时，∠BOE=∠BOC=60°， 当30°＜θ＜180°时，∠BOE=180°-∠BOC=180°-60°=120°．

Answer 2

为什么角DAE+角BOE=180