Question

已知函数f（x）的定义域为（0，+∞），且满足条件：①f（x?y）=f（x）+f（y） ②f（2）=1 ③当x＞1

已知函数f（x）的定义域为（0，+∞），且满足条件：①f（x?y）=f（x）+f（y） ②f（2）=1 ③当x＞1时，f（x）＞0（1）求f（1）的值；（2）讨论函数f（x）的单调性；（3）求满足f（x）+f（2x）≤2的x的取值范围．

Answer 1

（1）在①中令x=y=1，得f（1）=f（1）+f（1）故 f（1）=0   …（2分） （2）在①中令y= 1 x ，得f（1）=f（x）+f（ 1 x ）=0 即f（ 1 x ）=-f（x）， 函数f（x）在（0，+∞）上的单调递增，理由如下： 任取x 1 ，x 2 ，设x 2 ＞x 1 ＞0， ∴ x 2 x 1 ＞1 ∵当x＞1时，f（x）＞0 ∴f（x 2 ）-f（x 1 ）=f（x 2 ）+f（ 1 x 1 ）=f（ x 2 x 1 ）＞0   …（6分） f（x 2 ）＞f（x 1 ）， ∴f（x）在（0，+∞）上是增函数，…（8分） （3）由f（2）=1，得2f（2）=2=f（2）+f（2）=f（4）…（9分） ∴f（x）+f（2x）≤2可化为 x＞0 2x＞0 x?2x≤4 解得0＜x≤ 2 ．…（12分）