Question

已知数列 中， 前 和 （1）求证：数列 是等差数列（2）求数列 的通项公式（3）设数列 的前 项和

已知数列 中， 前 和 （1）求证：数列 是等差数列（2）求数列 的通项公式（3）设数列 的前 项和为 ，是否存在实数 ，使得 对一切正整数 都成立？若存在，求 的最小值，若不存在，试说明理由。

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Answer 1

（1）详见解析；（2） ；（3） ．

试题分析：（1）由 可得 ，两式相减即得关于数列项的递推关系式，从而进行化简进行判断数列 为等差数列；（2）由数列的第一项和递推关系式可求出数列的第二项，从而求出数列的公差，进而求出数列的通项公式；（3）这是一个不等式恒成立问题， 的最小值就是 的最大值（上确界），而求 是我们所熟悉的裂项相消法，于是本题不难得到结果. 试题解析：（1）由 ，知 ，两式相减得， ， 整理得 ，所以 ， 两式再相减整理得， ， ∴数列 为等差数列。 （2） 即公差为2 （3） 要使得 对一切正整数 恒成立，只要 ≥ ， 所以存在实数 使得 对一切正整数 都成立， 的最小值为 。