Question

已知3+5i是关于x的方程x2+px+q=0（p，q∈R）的一个根，求p，q的值和求方程的另一个根

已知3+5i是关于x的方程x2+px+q=0（p，q∈R）的一个根，求p，q的值和求方程的另一个根．

Answer 1

∵3+5i是关于x的方程x²+px+q=0（p，q∈R）的一个根，
∴（3+5i）²+p（3+5i）+q=0，
整理得（3p+q-16）+（30+5p）i=0，
则

3p+q?16＝0 30+5p＝0

，解得p=-6，q=34，
于是方程为x²-6x+34=0
配方得：（x-3）²=-25=25?i²
解得x-3=5i，或，x-3=-5i
即：方程的另一个根为x=3-5i
（解法二：因为3+5i是方程的一个根，那么方程的另一个根必为3-5i．
于是由韦达定理得：

x1+x2＝(3+5i)+(3?5i)＝?p x1?x2＝(3+5i)(3?5i)＝q

解之 p=-6，q=34．