Question

在f（x）在[0，π]上连续，且满足∫π0min{x，y}f（y）dy=4f（x），求f（x）

在f（x）在[0，π]上连续，且满足∫π0min{x，y}f（y）dy=4f（x），求f（x）．

Answer 1

∵

∫

π 0

min{x，y}f(y)dy＝

∫

x 0

yf(y)dy+x

∫

π x

f(y)dy＝4f(x)，
由上式知，f（x）在[0，π]上可导，
∴上式两边对x求导得
xf(x)?xf(x)+

∫

π x

f(y)dy＝4f′(x)
即

∫

π x

f(y)dy＝4f′(x)
∴f（x）在[0，π]上二阶可导
∴再对上式求导，得
-f（x）=4f″（x）
即：4f″（x）+f（x）=0
这是二阶常系数齐次线性微分方程，其特征方程为：4r²+1=0
解得特征根为：r1，2＝±

1

2

i
∴f(x)＝C1cos

x

2

+C2sin

x

2

…①
又在

∫

π 0

min{x，y}f(y)dy＝

∫

x 0

yf(y)dy+x

∫

π x

f(y)dy＝4f(x)中，令x=0，得f（0）=0
代入①得，C₁=0
∴f(x)＝Csin

x

2

，其中C为任意常数．