Question

设函数f（x）=alnx-bx 2 （x＞0）。（1）若函数f（x）在x=1处与直线y= 相切，①求实数，b的值；②求函数

设函数f（x）=alnx-bx 2 （x＞0）。（1）若函数f（x）在x=1处与直线y= 相切，①求实数，b的值；②求函数f（x）在[ ，e]上的最大值；（2）当b=0时，若不等式f（x）≥m+x对所有的a∈[0， ]，x∈（1，e 2 ]都成立，求实数m的取值范围。

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Answer 1

解：（1）① ∵函数 在 处与直线 相切 ∴ 解得 ② 当 时，令 得 令 得 ∴ 在 上单调递增 在[1，e]上单调递减 ∴ 。 （2）当b=0时， 若不等式 对所有的 都成立 则 对所有的 都成立 即 对所有的 都成立 令 ，则 为一次函数 ∵ ∴ ∴ 在 上单调递增 ∴ ∴ 对所有的 都成立 ∵ ∴ ∴ 。