（2012?徐州模拟）选修4-1：几何证明选讲如图，直线AB经过圆上O的点C，并且OA=OB，CA=CB，圆O交于直线OB
（2012?徐州模拟）选修4-1：几何证明选讲如图，直线AB经过圆上O的点C，并且OA=OB，CA=CB，圆O交于直线OB于E，D，连接EC，CD，若tan∠CED=12...
（2012?徐州模拟）选修4-1：几何证明选讲如图，直线AB经过圆上O的点C，并且OA=OB，CA=CB，圆O交于直线OB于E，D，连接EC，CD，若tan∠CED=12，圆O的半径为3，求OA的长．
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连接OC，
∵△AOB中，OA=OB，CA=CB，
∴OC⊥AB
∵OC是圆O的半径，∴AB与圆O相切于C点．
又∵ED是圆O的直径，
∴∠ECD=90°，可得∠E+∠EDC=90°
∵∠BCD+∠OCD=90°，∠OCD=∠ODC
∴∠BCD=∠E
又∵∠CBD=∠EBC
∴△BCD∽△BEC，
=
=
，可得BC2=BE?BD…①
∵Rt△CDE中，tan∠CED=
=
，
∴
=
=
，设BD=x，则BC=2x
代入①，得（2x）2=x（x+6），解之得x=2
∴OA=OB=BD+OD=5
∵△AOB中，OA=OB，CA=CB，
∴OC⊥AB
∵OC是圆O的半径，∴AB与圆O相切于C点．
又∵ED是圆O的直径，
∴∠ECD=90°，可得∠E+∠EDC=90°
∵∠BCD+∠OCD=90°，∠OCD=∠ODC
∴∠BCD=∠E
又∵∠CBD=∠EBC
∴△BCD∽△BEC，
| BC |
| BE |
| BD |
| BC |
| CD |
| CE |
∵Rt△CDE中，tan∠CED=
| CD |
| CE |
| 1 |
| 2 |
∴
| BD |
| BC |
| CD |
| CE |
| 1 |
| 2 |
代入①，得（2x）2=x（x+6），解之得x=2
∴OA=OB=BD+OD=5
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