Question

如图，点D是等边△ABC外一点，且DB=DC，∠BDC=120°，将一个三角尺60°的顶点放在点D上，三角尺的两边DP

如图，点D是等边△ABC外一点，且DB=DC，∠BDC=120°，将一个三角尺60°的顶点放在点D上，三角尺的两边DP、DQ分别与射线AB、CA相交于E、F两点．（1）当EF∥BC时，如图①，证明：EF=BE+CF；（2）当三角尺绕点D旋转到如图②的位置时，线段EF、BE、CF之间的上述数量关系是否成立？如果成立，请给予证明；如果不成立，写出EF、BE、CF之间的数量关系，并说明理由；（3）当三角尺绕点D继续旋转到如图③的位置时，（1）中的结论是否发生变化？如果不变化，直接写出结论；如果变化，请直接写出EF、BE、CF之间的数量关系．

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Answer 1

如图，点D是等边△ABC外一点，且DB=DC，∠BDC=120°，将一个三角尺60°的顶点放在点D上，角的两边分别为DP、DQ
（1）证明：
∵△ABC是等边三角形，
∴AB=AC，∠ABC=∠ACB=60°．
∵DB=DC，∠BDC=120°，
∴∠DBC=∠DCB=30°．
∴∠DBE=∠DBC+∠ABC=90°，
∠DCF=∠DCB+∠ACB=90°，
∵EF∥BC，
∴∠AEF=∠ABC=60°，∠AFE=∠ACB=60°．
∴AE=AF．
∴BE=AB-AE=AC-AF=CF．
又∵DB=DC，∠DBE=∠DCF，
∴△BDE≌△CDF，
∴DE=DF∠BDE=∠CDF=30°．
∴BE=

1

2

DE=

1

2

DF=CF．
∵∠EDF=60°，
∴△DEF是等边三角形．
即DE=DF=EF．
∴BE+CF=

1

2

DE+

1

2

DF=EF．

（2）结论仍然成立．
证明：如图，在AB的延长线上取点F′，使BF′=CF，连接DF′．
由（1）得，∠DBE=∠DCF=90°
则∠DBF′=∠DCF=90°，
又∵BD=CD，
∴△DCF≌△DBF’（SAS）
∴DF=DF′，∠BDF′=∠CDF，
又∵∠BDC=120°，∠EDF=60°
∴∠EDB+∠CDF=60°
∴∠EDB+∠BDF′
=∠EDF′=∠CDF=60°，又DE=DE，
∴△EDF′≌△EDF（SAS）．
∴EF=EF′=BE+BF’=BE+CF．

（3）结论发生变化．EF=CF-BE．