Question

设直线l的方程为y=kx-1，等轴双曲线C：x2-y2=a2（a＞0）的中心在原点，右焦点坐标为（ 2，0）．（1）求双

设直线l的方程为y=kx-1，等轴双曲线C：x2-y2=a2（a＞0）的中心在原点，右焦点坐标为（ 2，0）．（1）求双曲线方程；（2）设直线l与双曲线C的右支交于不同的两点A，B，记AB中点为M，求k的取值范围，并用k表示M点的坐标．（3）设点Q（-1，0），求直线QM在y轴上截距的取值范围．

Answer 1

（1）由条件c＝

2

，∵c²=a²+b²=2a²，∴a=1，
所以双曲线方程为x²-y²=1．                    
（2）由

y＝kx?1 x2?y2＝1

得（1-k²）x²+2kx-2=0，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
因此

1?k2≠0 △＝4k2+8(1?k2)＞0 x1+x2＝ ?2k 1?k2 ＞0 x1x2＝ ?2 1?k2 ＞0

解得

1＜k2＜2 k＞0

，因此k∈（1，

2

）
并且

x1+x2

2

＝

k

k2?1

∴

y1+y2

2

＝k?

k

k2?1

?1＝

1

k2?1

，
所以M(

k

k2?1

，

1

k2?1

)．                            
（3）直线MQ的方程为y＝

1 k2?1

k k2?1 +1

(x+1)，
令x=0，得y＝

1

k2+k?1

＝

1

(k+ 1 2 )2? 5 4

，
∵k∈(1，

2

)∴(k+

1

2

)2?

5

4

∈(1，

2

+1)，∴y∈(

2

?1，1)