Question

如图，在四边形ABCD中，角BAC=90度，角CAD=30度，角ADC=75度，AC、BD交于点E，AE=2，BE=2ED,求BC的长。

Answer 1

解：

过点D作DF⊥AC于点F．

∵∠BAC=90°=∠DFA，

∴AB∥DF，

∴△ABE∽△FDE

∴ AB/DF  = AE/EF  = BE/DE  =2，

∴EF=1，AB=2DF．

在△ACD中，∠CAD=30°，∠ADC=75°，

∴∠ACD=75°，AC=AD．

∵DF⊥AC，

∴∠AFD=90°，

在△AFD中，AF=2+1=3，∠FAD=30°，

∴DF=AFtan30°= 根号3  ，AD=2DF=2倍根号3  ．

∴AC=AD=2 倍根号3  ，AB=2DF=2 倍根号3  ．

∴BC= 根号（AB2+AC2）  =2 倍根号6  ．

思路：根据相似的三角形的判定与性质，可得 AB/DF  = AE/EF  = BE/DE  =2，根据等腰三角形的判定，可得AD=AC，根据正切函数，可得DF的长，根据直角三角形的性质，可得AB与DF的关系，根据勾股定理，可得答案．