Question

已知函数 f(x)=x+ 4 x (x＞0) ．（1）判断函数f（x）的单调性；（2）用定义证明

已知函数 f(x)=x+ 4 x (x＞0) ．（1）判断函数f（x）的单调性；（2）用定义证明．

Answer 1

（1）f（x）在（0，2]上单调递减，在（2，+∞）上单调递增． 证明（2）设0＜x 1 ＜x 2 ≤2，则 f( x 1 )-f( x 2 )=( x 1 + 4 x 1 )-( x 2 + 4 x 2 )=( x 1 - x 2 )(1- 4 x 1 x 2 ) 因0＜x 1 ＜x 2 ≤2，所有x 1 -x 2 ＜0， 1- 4 x 1 x 2 ＜0 ，所以f（x 1 ）-f（x 2 ）＞0， 即 f（x 1 ）＞f（x 2 ），所以f（x）在（0，2]上单调递减． 设2＜x 1 ＜x 2 ，则 f( x 1 )-f( x 2 )=( x 1 + 4 x 1 )-( x 2 + 4 x 2 )=( x 1 - x 2 )(1- 4 x 1 x 2 ) 因2＜x 1 ＜x 2 ，所有x 1 -x 2 ＜0， 1- 4 x 1 x 2 ＞0 ，所以f（x 1 ）-f（x 2 ）＜0， 即 f（x 1 ）＜f（x 2 ），所以f（x）在（2，+∞）上单调递增．