Question

已知函数f（x）=ax 2 +bx+c（a＞b＞c），满足f（1）=0，且a 2 +[f（m 1 ）+f（m 2 ）]?a+f（m 1 ）?f（m

已知函数f（x）=ax 2 +bx+c（a＞b＞c），满足f（1）=0，且a 2 +[f（m 1 ）+f（m 2 ）]?a+f（m 1 ）?f（m 2 ）=0．（1）求证a＞0，c＜0且b≥0；（2）求证f（x）的图象被x轴所截得的线段长的取值范围是[2，3）；问能否得出f（m 1 +3），f（m 2 +3）中至少有一个为正数，请证明你的结论．

Answer 1

证明：（1）∵函数f（x）=ax 2 +bx+c（a＞b＞c），满足f（1）=0， ∴a+b+c=0．（1分） 若a≤0，∵a＞b＞c∴b＜0，c＜0， 则有a+b+c＜0，这与a+b+c=0矛盾，∴a＞0成立．（2分） 若c≥0，则有b＞0，a＞0，此时a+b+c＞0，这与a+b+c=0矛盾， ∴c＜0成立．（3分） ∵a 2 +[f（m 1 ）+f（m 2 ）]?a+f（m 1 ）?f（m 2 ）=0 ∴[a+f（m 1 ）]?[a+f（m 2 ）]=0，∴m 1 ，m 2 是方程f（x）=-a的两根 ∴△=b 2 -4a（a+c）=b（b+4a）=b（3a-c）≥0 而a＞0，c＜0∴3a-c＞0， ∴b≥0．（4分） （2）f（1）=0，∴1是方程f（x）=0的一个根， 设x 1 =1，另一个根为x 2 ，有 x 2 =- b a -1 ， x 2 = c a ． ∵b=-a-c≥0，a＞0，∴ c a ≤-1 ； 又a＞0，a＞-a-c＞c，∴-2＜ c a ≤-1， ∴ 2≤1- c a ＜3，即2≤|x 1 -x|＜3， 故f（x）的图象被x轴所截得的线段长的取值范围是[2，3）．（8分） 设 f(x)=a(x- x 1 )(x- x 2 )=a(x-1)(x- c a ) 由已知f（m 1 ）=-a或f（m 2 ）=-a，不妨设f（m 1 ）=-a 则 a( m 1 -1)( m 1 - c a )=-a ＜0，∴ c a ＜m 1 ＜1 ∴m 1 +3＞ c a +3＞1， ∴f（m 1 +3）＞f（1）＞0， 同理当f（m 2 ）=-a，有f（m 2 +3）＞0， 所以f（m 1 +3），f（m 2 +3）中至少有一个为正数．（12分）