Question

设函数f(x)＝lnx+1x：（1）求f（x）的最小值；（2）设数列{xn}满足lnxn+1xn+1＜1，证明极限limn→∞xn存

设函数f(x)＝lnx+1x：（1）求f（x）的最小值；（2）设数列{xn}满足lnxn+1xn+1＜1，证明极限limn→∞xn存在，并求此极限．

Answer 1

（1）f′(x)＝

1

x

?

1

x2

＝

x?1

x2

，
令f'（x）=0，得唯一驻点x=1，
当x∈（0，1）时，f'（x）＜0，函数单调递减；当x∈（1，∞）时，f'（x）＞0，函数单调递增．
所以函数x=1处取得最小值f（1）=1．
（2）证明：由于lnxn+

1

xn+1

＜1，但lnxn+

1

xn

≥1，所以

1

xn+1

＜

1

xn

，故数列{x_n}单调递增．
又由于lnxn≤lnxn+

1

xn+1

＜1，得到0＜x_n＜e，数列{x_n}有界．
由单调有界收敛定理可知极限

lim

n→∞

xn存在．
令

lim

n→∞

xn＝a，则

lim

n→∞

（lnxn+

1

xn+1

）=lna+

1

a

≤1，由（1）的结论可知

lim

n→∞

xn＝a＝1．