Question

已知m，n为异面直线，m⊥平面α，n⊥平面β．直线l满足l⊥m，l⊥n，l?α，l?β．现有四个结论：①α∥β

已知m，n为异面直线，m⊥平面α，n⊥平面β．直线l满足l⊥m，l⊥n，l?α，l?β．现有四个结论：①α∥β，且l∥α；②α⊥β，且l⊥β；③α与β相交，且交线垂直于l；④α与β相交，且交线平行于l．其中正确的结论是______．

Answer 1

解答：解：对于①，若α∥β，由m⊥平面α，则m⊥β，又n⊥平面β，即有m∥n，与m，n异面矛盾，故①错；
对于②，若α⊥β，则由m⊥平面α，n⊥平面β，可将m，n平移为相交直线，设确定平面为γ，则可证γ与α，β的交线围成的四边形是矩形，即有m⊥n，这与m，n是异面直线，不一定垂直矛盾，故②错；
对于③，由上面的分析可知，α与β相交，且不垂直，设m，n平移为相交直线，确定平面为γ，
则由l⊥m，l⊥n，易得l⊥γ，且设α，β的交线为a，则易得a⊥m，a⊥n，即得a⊥γ，则a∥l，
故③错；
对于④，由上面的分析可知，α与β相交，且不垂直，设m，n平移为相交直线，确定平面为γ，
则由l⊥m，l⊥n，易得l⊥γ，且设α，β的交线为a，则易得a⊥m，a⊥n，即得a⊥γ，则a∥l，
故④对．
故答案为：④．