Question

（2011?台州模拟）如图所示，以O为原点建立平面直角坐标系Oxy，沿y轴放置一平面荧光屏，在y＞0，0＜x＜0.

（2011?台州模拟）如图所示，以O为原点建立平面直角坐标系Oxy，沿y轴放置一平面荧光屏，在y＞0，0＜x＜0.5m的区域有垂直于纸面向里的匀强磁场，磁场的磁感应强度大小B=0.5T．在原点O放一个开有小孔粒子源，粒子源能同时放出比荷为q/m=4.0×106kg/C的不同速率的正离子束，沿与x轴成30°角从小孔射入磁场，最后打在荧光屏上，使荧光屏发亮．入射正离子束的速率在0到最大值vm=2.0×106m/s的范围内，不计离子之间的相互作用，也不计离子的重力．（1）求离子打到荧光屏上的范围．（2）若在某时刻（设为t=0时刻）沿与x轴成30°角方向射入各种速率的正离子，求经过5π3×10-7s时这些离子所在位置构成的曲线方程．（3）实际上，从O点射入的正离子束有一定的宽度，设正离子将在与x轴成30°～60°角内进入磁场．则某时刻（设为t=0时刻）在这一宽度内向各个方向射入各种速率的离子，求经过5π3×10-7s时这些离子可能出现的区域面积．

Answer 1

（1）由qvB＝

mv2

r

得，r＝

mv

qB

，rm＝

mvm

qB

＝1m
离子在磁场中运动最大轨道半径：r_m=1m
由几何关系知，最大速度的离子刚好沿磁场边缘打在荧光屏上，如左图所示．
所以OA₁长度为：y＝2rcos300＝

3

m
即离子打到荧光屏上的范围为：[0，

3

m]
（2）离子在磁场中运动的周期为：T＝

2πm

qB

＝π×10?6s
由题，经过时间：t=

5π

3

×10?7s，则
离子转过的圆心角为  φ＝

2π

T

t＝

π

3

设

5π

3

×10?7s这个时刻某离子的位置坐标为（x，y），则有
   y=rcos30°
   x=r-rsin30°
所以解得：y＝

3

x就是所求的曲线方程．
（3）由几何关系知，与x轴成60°方向入射的离子，经过时间：t=

5π

3

×10?7s时离子转过的圆心角为φ＝

2π

T

t＝

π

3

刚好打在y轴上，将t=

5π

3

×10?7s时刻这些离子所在坐标连成曲线，方程就是：x=0即都打在y轴上，所以在t=0时刻与x轴成30°～60°内进入磁场的正离子在t=

5π

3

×10?7s时刻全部出现在以O为圆心的扇形OA₂C₁范围内．如图 
则离子可能出现的区域面积：S＝

πrm2

12

＝

π

12

m2≈0.26m2
答：
（1）离子打到荧光屏上的范围为[0，

3

m]．
（2）经过

5π

3

×10?7s时这些离子所在位置构成的曲线方程是y=

3

x．
（3）经过

5π

3

×10?7s时这些离子可能出现的区域面积为0.26m²．