Question

（2014?嘉定区一模）如图，正三棱锥A-BCD的底面边长为2，侧棱长为3，E为棱BC的中点．（1）求异面直线AE与

（2014?嘉定区一模）如图，正三棱锥A-BCD的底面边长为2，侧棱长为3，E为棱BC的中点．（1）求异面直线AE与CD所成角的大小（结果用反三角函数值表示）；（2）求该三棱锥的体积V．

Answer 1

（1）取BD中点F，连结AF、EF，
因为EF∥CD，
所以∠AEF就是异面直线AE与CD所成的角（或其补角）．  …（2分）
在△AEF中，AE＝AF＝2

2

，EF=1，…（1分）
所以cos∠AEF＝

1 2

2 2

＝

2

8

．    …（2分）
所以，异面直线AE与CD所成的角的大小为arccos

2

8

．  …（1分）
（2）作AO⊥平面BCD，则O是正△BCD的中心，…（1分）
连结OE，OE＝

3

3

，…（1分）
所以AO＝

AE2?EO2

＝

23 3

，…（1分）
所以，V＝

1

3

?Sh＝

1

3

×

3

4

×4×

23 3

＝

23

3

．  …（2分）