如图，三棱柱ABC-A1B1C1的底面ABC是等腰直角三角形，AB=AC=1，侧棱AA1⊥底面ABC，且AA1=2，E是BC的中点．
如图，三棱柱ABC-A1B1C1的底面ABC是等腰直角三角形，AB=AC=1，侧棱AA1⊥底面ABC，且AA1=2，E是BC的中点．（1）求异面直线AE与A1C所成角的余...
如图，三棱柱ABC-A1B1C1的底面ABC是等腰直角三角形，AB=AC=1，侧棱AA1⊥底面ABC，且AA1=2，E是BC的中点．（1）求异面直线AE与A1C所成角的余弦值；（2）求直线A1C与平面BCC1B1所成角的正切值．
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（1）三棱柱ABC-A1B1C1中，取C1B1的中点H，连A1H与HC，
∵E是BC的中点∴A1H∥AE，∠CA1H是异面直线AE与A1C所成角，
∵底面ABC是等腰直角三角形，E是BC的中点，
∴AE⊥BC，
∴A1H⊥BC，
∵侧棱AA′⊥底面ABC，
∴侧棱B1B⊥A1H，
∴A1H⊥平面BCC1B1，∴A1H⊥HC，
在Rt△A1HC中，
cos∠CA1H=
＝
； （6分）
（2）由（1）知A1H⊥平面BCC1B1
A1C在平面BCC1B1上的射影是HC，
∴∠A1CH是直线A1C与平面BCC1B1所成角，
在Rt△A1HC中 tan∠A1CH=
＝
＝
． （12分）
∵E是BC的中点∴A1H∥AE，∠CA1H是异面直线AE与A1C所成角，
∵底面ABC是等腰直角三角形，E是BC的中点，
∴AE⊥BC，
∴A1H⊥BC，
∵侧棱AA′⊥底面ABC，
∴侧棱B1B⊥A1H，
∴A1H⊥平面BCC1B1，∴A1H⊥HC，
在Rt△A1HC中，
cos∠CA1H=
| A 1H |
| A1C |
| ||||
|
| ||
| 10 |
（2）由（1）知A1H⊥平面BCC1B1
A1C在平面BCC1B1上的射影是HC，
∴∠A1CH是直线A1C与平面BCC1B1所成角，
在Rt△A1HC中 tan∠A1CH=
| A1H |
| BC |
| ||||
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