（2013?湖北）如图，AB是圆O的直径，点C是圆O上异于A，B的点，直线PC⊥平面ABC，E，F分别是PA，PC的中点
（2013?湖北）如图，AB是圆O的直径，点C是圆O上异于A，B的点，直线PC⊥平面ABC，E，F分别是PA，PC的中点．（Ⅰ）记平面BEF与平面ABC的交线为l，试判断...
（2013?湖北）如图，AB是圆O的直径，点C是圆O上异于A，B的点，直线PC⊥平面ABC，E，F分别是PA，PC的中点．（Ⅰ）记平面BEF与平面ABC的交线为l，试判断直线l与平面PAC的位置关系，并加以证明；（Ⅱ）设（Ⅰ）中的直线l与圆O的另一个交点为D，且点Q满足DQ＝12CP．记直线PQ与平面ABC所成的角为θ，异面直线PQ与EF所成的角为α，二面角E-l-C的大小为β．求证：sinθ=sinαsinβ．
展开
1个回答
展开全部
解：（Ⅰ）直线l∥平面PAC，证明如下：连接EF，因为E，F分别是PA，PC的中点，所以EF∥AC，
又EF?平面ABC，且AC?平面ABC，所以EF∥平面ABC．
而EF?平面BEF，且平面BEF∩平面ABC=l，所以EF∥l．
因为l?平面PAC，EF?平面PAC，所以直线l∥平面PAC．
（Ⅱ）（综合法）如图1，连接BD，由（Ⅰ）可知交线l即为直线BD，且l∥AC．
因为AB是⊙O的直径，所以AC⊥BC，于是l⊥BC．
已知PC⊥平面ABC，而l?平面ABC，所以PC⊥l．
而PC∩BC=C，所以l⊥平面PBC．
连接BE，BF，因为BF?平面PBC，所以l⊥BF．
故∠CBF就是二面角E-l-C的平面角，即∠CBF=β．
由
| DQ |
| 1 |
| 2 |
| CP |
| 1 |
| 2 |
连接PQ，DF，因为F是CP的中点，CP=2PF，所以DQ=PF，
从而四边形DQPF是平行四边形，PQ∥FD．
连接CD，因为PC⊥平面ABC，所以CD是FD在平面ABC内的射影，
故∠CDF就是直线PQ与平面ABC所成的角，即∠CDF=θ．
又BD⊥平面PBC，有BD⊥BF，知∠BDF=α，
于是在Rt△DCF，Rt△FBD，Rt△BCF中，分别可得sinθ＝
| CF |
| DF |
| BF |
| DF |
| CF |
| BF |
从而sinαsinβ＝
| CF |
| BF |
| BF |
| DF |
| CF |
| DF |
（Ⅱ）（向量法）如图2，由
| DQ |
| 1 |
| 2 |
| CP |
| 1 |
| 2 |
连接PQ，EF，BE，BF，BD，由（Ⅰ）可知交线l即为直线BD．
以点C为原点，向量
| CA |
已赞过
已踩过<
评论
收起
你对这个回答的评价是？
推荐律师服务：
若未解决您的问题，请您详细描述您的问题，通过百度律临进行免费专业咨询
为你推荐：下载百度知道APP，抢鲜体验
使用百度知道APP，立即抢鲜体验。你的手机镜头里或许有别人想知道的答案。
扫描二维码下载
×
类别
我们会通过消息、邮箱等方式尽快将举报结果通知您。 说明 0/200 提交
取消
|
