正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是棱AA1，BB1的中点．（1）求证：平面A1BC1∥平面ACD1；（2）求异面直线
正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是棱AA1，BB1的中点．（1）求证：平面A1BC1∥平面ACD1；（2）求异面直线A1F与D1E所成的角的余弦值．...
正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是棱AA1，BB1的中点．（1）求证：平面A1BC1∥平面ACD1；（2）求异面直线A1F与D1E所成的角的余弦值．
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证明：（1）如图，连结AC，AD1，CD1，A1C1，A1B，C1B．
∵ABCD-A1B1C1D1是正方体，∴AA1∥CC1，AA1=CC1，
∴四边形AA1C1C为平行四边形，∴A1C1∥AC．
A1C1?平面ACD1，AC?平面ACD1，∴A1C1∥平面ACD1；
∵A1D1∥BC，A1D1=BC，∴四边形A1BCD1为平行四边形，∴A1B∥CD1．
A1B?平面ACD1，CD1?平面ACD1，∴A1B∥?平面ACD1，
又A1B∩A1C1=A1，
∴平面A1BC1∥平面ACD1；
（2）连结C1F，∵E，F分别是棱AA1，BB1的中点，∴EF∥C1D1，EF=C1D1
∴EFC1D1是平行四边形，∴D1F∥C1E．
设正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，解直角三角形求得A1C1=2
| 2 |
| 5 |
在△A1C1F中，由余弦定理得cos∠A1FC1=
| A1F2+C1F2-A1C12 |
| 2A1F?C1F |
(
| ||||||
2×
|
| 1 |
5
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