Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，PD⊥平面ABCD，底面ABCD是菱形，．（Ⅰ）求证：AC⊥平面PBD；（Ⅱ）若∠BAD=60

如图，在四棱锥P-ABCD中，PD⊥平面ABCD，底面ABCD是菱形，．（Ⅰ）求证：AC⊥平面PBD；（Ⅱ）若∠BAD=60°，AD=2，PD=3，求二面角P-BC-A的大小．

Answer 1

（Ⅰ）证明：∵PD⊥平面ABCD，
∴PD⊥AC，
∴底面ABCD是菱形，
∴BD⊥AC，
∵PD∩BD=D，
∴AC⊥平面PBD；
（Ⅱ）解：取BC的中点E，连接DE，PE，则
∵底面ABCD是菱形，∠BAD=60°，
∴DE⊥BC，
∴PE⊥BC，
∴∠PED是二面角P-BC-A的平面角．
∵∠BAD=60°，AD=2，
∴DE=

3

，
∵PD=3，
∴tan∠PED=

PD

DE

=

3

，
∴∠PED=60°