Question

已知：在四边形ABCD中，AD∥BC，∠BAC=∠D，点E、F分别在 BC、CD上，且∠AEF=∠ACD，试探究AE与EF之间的

已知：在四边形ABCD中，AD∥BC，∠BAC=∠D，点E、F分别在 BC、CD上，且∠AEF=∠ACD，试探究AE与EF之间的数量关系。（1）如图所示①，若AB=BC=AC，则AE与EF之间的数量关系为____；（2）如图所示②，若AB=BC，你在（1）中得到的结论是否发生变化？写出你的猜想，并加以证明； （3）如图所示③，若AB=kBC，你在（1）中得到的结论是否发生变化？写出你的猜想，并加以证明。

Answer 1

解：（1）AE与EF之间的数量关系为AE=EF； （2）猜想：（1）中得到的结论没有发生变化， 如图①，过点E作EH∥AB交AC于点H，则∠BAC+∠1=180°，∠BAC=∠2， ∵AB=BC， ∴∠BAC=∠3， ∴∠2=∠3， ∴EH=EC， ∵AD∥BC， ∴∠D+∠DCB=180°， ∵∠BAC=∠D， ∴∠1=∠DCB=∠ECF， ∵∠4=∠5，∠AEF=∠ACF， ∴∠6=∠7， ∴△AEH≌△FEC， ∴AE=EF；
（3）猜想：AE=kEF， 如图②，过点E作EH //AB，交AC于点H， 则△HEC∽△ABC， ∴ ， ∴ =k， 同（2）可证∠AHE=∠FCE，∠EAH=∠CFE， ∴△AEH∽△FEC， ∴ =k， 即AE=kEF。	②