Question

已知函数f（x）=ax2+bx+c，g（x）=ax+b（1）令F(x)＝f(x)g(x)，当a、b、c满足什么条件时，F（x）为奇函数

已知函数f（x）=ax2+bx+c，g（x）=ax+b（1）令F(x)＝f(x)g(x)，当a、b、c满足什么条件时，F（x）为奇函数？（2）令G（x）=f（x）-g（x），若a＞b＞c，且f（1）=0（Ⅰ）求证函数G（x）的图象与x轴必有两个交点A、B；（Ⅱ）求|AB|的取值范围．

Answer 1

（1）∵F（x）为奇函数，∴F（-x）=-F（x）；
∴

f(?x)

g(?x)

＝ ?

f(x)

g(x)

?

a(?x)2?bx+c

?ax+b

＝?

ax2+bx+c

ax+b

整理可得bc=0
bc=0，F（x）为奇函数
（2）（I）∵f（1）=a+c+b=0，a＞b＞c∴a＞0＞c
∵G（x）=f（x）-g（x）=ax²+（b-a）x+c-b
∴△=（b-a）²-4a（c-b）=（a+b）²-4ac＞0
∴G（x）=0有两个根，函数G（x）的图象与x轴必有两个交点A、B
（II）设A（x₁，0）B（x₂，0）
∴|AB|=|x2?x1|  ＝

(x2+x1)2?4x1x2

=

( a?b a )2?4 c a

＝

4+ ( c a ) 2

＞2