Question

如图，在平面直角坐标系中，直线y＝?43x+8与x，y轴分别交于A、B两点，M是OB上一点，将△ABM沿AM折叠，点B

如图，在平面直角坐标系中，直线y＝?43x+8与x，y轴分别交于A、B两点，M是OB上一点，将△ABM沿AM折叠，点B恰好落在x轴上的点C．（1）求点C的坐标；（2）求直线AM的解析式；（3）设直线l：x=t（-4＜t＜6）与直线AM的交点为P，与过A、B、C三点的抛物线交于点Q，求PQ的最大值．

Answer 1

（1）当X=0时，y=8；当y=0时，x=6
∴A（6，0），B（0，8）
∴AO=6，BO=8
∵AB²=AO²+BO²
∴AB=10，
依题意得：AC=AB，MC=MB
∴C（-4，0）

（2）在△MOC中，设OM=a，则MC=OB-MO=8-a
∴OC²=MC²-MO²即16=（8-a）²-a²
∴a=3，M（0，3）
设直线MA的解析式为y=kx+b
∴

3＝b 0＝6k+b

解得：

b＝3 k＝? 1 2

∴直线MA的解析式为：y=-

1

2

x+3；

（3）设经过A（6，0），B（0，8），C（-4，0）的抛物线的解析式为：y=ax²+bx+c
∴36a+6b+c=0，
0=16a-4a+c，
8=c
∴a=-

1

3

，b=

2

3

，c=8∴y=-

1

3

x²+

2

3

x+8
∴直线x=t与直线AM的交点P的坐标：P（t，-

1

2

t+3），与抛物线y=-

1

3

x²+

2

3

x+8的交点坐标Q（t，-

1

3

t²+

2

3

t+8）
∴PQ=-

1

3

t²+

2

3

t+8-（-

1

2

t+3）
=-