Question

（2012?江西）如图，已知二次函数L1：y=x2-4x+3与x轴交于A、B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C．（1

（2012?江西）如图，已知二次函数L1：y=x2-4x+3与x轴交于A、B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C．（1）写出A、B两点的坐标；（2）二次函数L2：y=kx2-4kx+3k（k≠0），顶点为P．①直接写出二次函数L2与二次函数L1有关图象的两条相同的性质；②是否存在实数k，使△ABP为等边三角形？如果存在，请求出k的值；如不存在，请说明理由；③若直线y=8k与抛物线L2交于E、F两点，问线段EF的长度是否会发生变化？如果不会，请求出EF的长度；如果会，请说明理由．

Answer 1

（1）当y=0时，x²-4x+3=0，
∴x₁=1，x₂=3；
即：A（1，0），B（3，0）；

（2）①二次函数L₂与L₁有关图象的两条相同的性质：
（Ⅰ）对称轴都为直线x=2或顶点的横坐标为2；
（Ⅱ）都经过A（1，0），B（3，0）两点；
②存在实数k，使△ABP为等边三角形．
∵y=kx²-4kx+3k=k（x-2）²-k，
∴顶点P（2，-k）．
∵A（1，0），B（3，0），∴AB=2
要使△ABP为等边三角形，必满足|-k|=

3

，
∴k=±

3

；

③线段EF的长度不会发生变化．
∵直线y=8k与抛物线L₂交于E、F两点，
∴kx²-4kx+3k=8k，
∵k≠0，∴x²-4x+3=8，
∴x₁=-1，x₂=5，
∴EF=x₂-x₁=6，
∴线段EF的长度不会发生变化．