Question

如图所示，ABDO是处于竖直平面内的固定光滑轨道，AB是半径为R=15m的14圆周轨道，半径OA处于水平位置，BDO

如图所示，ABDO是处于竖直平面内的固定光滑轨道，AB是半径为R=15m的14圆周轨道，半径OA处于水平位置，BDO是半径为 r=7.5m的半圆轨道，D为BDO轨道的中点．一个小球P从A点的正上方距水平半径OA高H处自由下落，沿竖直平面内的轨道通过D点时对轨道的压力等于重力的143倍．g取10m/s2．求：（1）H的大小；（2）试讨论此球能否达到BDO轨道的O点，并说明理由；（3）小球沿轨道运动后再次落到轨道上的速度大小是多少．（提示：圆的方程x2+y2=R2）

Answer 1

（1）小球从H高处自由落下，进入轨道做圆周运动，小球受重力和轨道的支持力作用，设小球通过B点时的速度为v_B，通过AB轨道末端B点时轨道对小球的支持力为F_B，根据牛顿第二定律和向心力公式得：F_B-mg=m

v 2 B

R

，
则：F_B=

13

3

mg，
小球从P点落下沿光滑轨道运动的过程中，机械能守恒，有：mg（H+R）=

1

2

mv_B²，
解得：H=

2

3

R=10m．
（2）设小球沿竖直轨道运动能够到达最高点O的最小速度为v_min，由牛顿第二定律得：
mg=m

v 2 min

R 2

，
小球至少应从H₀高处落下，下落过程，由机械能守恒定律得：mgH₀=

1

2

v_min²，
解得：H₀=

1

4

R，
由于H＞H₀，所以小球可以通过最高点O点．
（3）小球从H高处自由落下沿轨道运动，通过O点时的速度为v₀，由机械能守恒定律得：mgH=

1

2

mv₀²，
解得：v₀=10

2

m/s，
小球通过O点后做平抛运动，设小球经过时间t落到AB圆弧轨道上，速度大小为v，建立图示所示的坐标系，有：x=v₀t，y=

1

2

gt²，
且x²+y²=R²，v=

v 2 0 +(gt)2

，
联立解得t=1s，（负解舍去）v=10

3

m/s=17.3m/s；
答：（1）H的大小为10m．
（2）由于H＞H₀，所以小球可以通过最高点O点．
（3）小球从H高处自由落下沿轨道运动后再次落到轨道上的速度大小是17.3m/s．