Question

数列an=1/（n+1)，求证Sn<ln（n+1），n属于正整数。

求多种方法

Answer 1

我只知道一种方法。

如果你是高中生，且不了解高等数学，你将很难看懂。

你这个问题中的Sn实际上很像是调和级数的部分和。

下面开始证明。

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利用泰勒公式，

ln(1+x) = x - x^2/2 + x^3/3 - ...

于是，

ln(1+1/x) = 1/x - 1/2x^2 + 1/3x^3 - ...

然后，

1/x = ln((x+1)/x) + 1/2x^2 - 1/3x^3 + ...

从而

1/2= ln((2+1)/2) + 1/(2×2^2) - 1/(3×2^3 )+ ...

1/3= ln((3+1)/3) + 1/(2×3^2 )- 1/(3×3^3 )+ ...

1/4= ln((4+1)/4) + 1/(2×4^2 )- 1/(3×4^3) + ...

。。。

1/(n+1)= ln((n+1+1)/(n+1)) + 1/(2(n+1)^2) - 1/(3(n+1)^3) + ...

然后将所有这些等式累加：

1/2+1/3+1/4+...+1/(n+1)

=ln(3/2)+ln(4/3)+ln(5/4)+...+ln((n+2)/(n+1))+【 1/2×(1+1/4+1/9+...+1/n^2) - 1/3×(1+1/8+1/27+...+1/n^3) + ......】

注意到，通过莱布尼茨判别法可以证明【】里的这个交错级数收敛，设它的极限为r，欧拉计算得到的“欧拉-马歇罗尼常数”r的值为下面的图片：

从而，

1/2+1/3+1/4+...+1/(n+1)

=ln((n+2)/2)+a

＜ln((2n+2)/2)

=ln(n+1)

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