Question

已知实数a，b，c满足abc=-1，a+b+c=4， a a 2 -3a-1 + b b 2 -3b-1 + c

已知实数a，b，c满足abc=-1，a+b+c=4， a a 2 -3a-1 + b b 2 -3b-1 + c c 2 -3c-1 = 4 9 ，则a 2 +b 2 +c 2 =______．

Answer 1

∵abc=-1，a+b+c=4， ∴a 2 -3a-1=a 2 -3a+abc=a（bc+a-3）=a（bc-b-c+1）=a（b-1）（c-1）， ∴ a a 2 -3a-1 = 1 (b-1)(c-1) ， 同理可得： b b 2 -3b-1  = 1 (a-1)(c-1) ， c c 2 -3c-1 = 1 (a-1)(b-1) ， 又 a a 2 -3a-1 + b b 2 -3b-1  + c c 2 -3c-1 = 4 9 ， ∴ 1 (b-1)(c-1) + 1 (a-1)(c-1) + 1 (a-1)(b-1) = 4 9 ， ∴ (a-1)+(b-1)+(c-1) (a-1)(b-1)(c-1) = 4 9 ，即 4 9 （a-1）（b-1）（c-1）=（a-1）+（b-1）+（c-1）， 整理得： 4 9 （abc-ab-ac-bc+a+b+c-1）=a+b+c-3， 将abc=-1，a+b+c=4代入得：ab+bc+ac=- 1 4 ， 则a 2 +b 2 +c 2 =（a+b+c） 2 -2（ab+bc+ac）= 33 2 ． 故答案为： 33 2 ．