已知抛物线y2=-x与直线y=k（x+1）相交于A、B两点．（1）求证：OA⊥OB；（2）当△OAB的面积等于10时，求k
已知抛物线y2=-x与直线y=k（x+1）相交于A、B两点．（1）求证：OA⊥OB；（2）当△OAB的面积等于10时，求k的值．...
已知抛物线y2=-x与直线y=k（x+1）相交于A、B两点．（1）求证：OA⊥OB；（2）当△OAB的面积等于10时，求k的值．
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（1）由方程y2=-x，y=k（x+1）
消去x后，整理得
ky2+y-k=0．
设A（x1，y1）、B（x2，y2），由韦达定理y1?y2=-1．
∵A、B在抛物线y2=-x上，
∴y12=-x1，y22=-x2，y12?y22=x1x2．
∵kOA?kOB=
?
=
=
=-1，
∴OA⊥OB．
（2）设直线与x轴交于N，又显然k≠0，
∴令y=0，则x=-1，即N（-1，0）．
∵S△OAB=S△OAN+S△OBN
=
|ON||y1|+
|ON||y2|
=
|ON|?|y1-y2|，
∴S△OAB=
?1?
=
．
∵S△OAB=
，
∴
消去x后，整理得
ky2+y-k=0．
设A（x1，y1）、B（x2，y2），由韦达定理y1?y2=-1．
∵A、B在抛物线y2=-x上，
∴y12=-x1，y22=-x2，y12?y22=x1x2．
∵kOA?kOB=
| y1 |
| x1 |
| y2 |
| x2 |
| y1y2 |
| x1x2 |
| 1 |
| y1y2 |
∴OA⊥OB．
（2）设直线与x轴交于N，又显然k≠0，
∴令y=0，则x=-1，即N（-1，0）．
∵S△OAB=S△OAN+S△OBN
=
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
=
| 1 |
| 2 |
∴S△OAB=
| 1 |
| 2 |
| (y1+y2)2?4y1y2 |
=
| 1 |
| 2 |
(
|
∵S△OAB=
| 10 |
∴
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