Question

如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面ABC，AB⊥BC，D为AC的中点，A1A=AB=2．（1）求证：AB1∥平面B

如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面ABC，AB⊥BC，D为AC的中点，A1A=AB=2．（1）求证：AB1∥平面BC1D；（2）过点B作BE⊥AC于点E，求证：直线BE⊥平面AA1C1C（3）若四棱锥B-AA1C1D的体积为3，求BC的长度．

Answer 1

（1）证明：连接B₁C 设B₁C∩BC₁=O，连接OD
∵BCC₁ B₁是平行四边形∴点O是B₁ C的中点
∵D为AC的中点∴OD是△AB₁C的中位线．
∴AB₁∥OD
AB₁?平面BC₁D  OD?平面BC₁D
AB₁∥平面BC₁D；
（2）∵A₁A⊥平面ABC，A₁A?平面AA₁C₁C，∴平面AA₁C₁C⊥平面ABC
又平面AA₁C₁C∩平面ABC=AC，BE⊥AC，BE?平面ABC，
∴直线BE⊥平面AA₁C₁C
（3）由（2）知BE的长度是四棱锥B-AA₁C₁D的体高A₁A=AB=2．设BC=x＞0．
在Rt△ABC中，AC?BE=AB?BC，∴BE＝

2x

AC

∴SAA1C1D＝

1

2

?(A1C1+AD)?A1A＝

1

2

3

2

AC?2＝

3

2

AC，
∴VAA1C1D=

1

3

SAA1C1D?BE＝

1

3

?

3

2

AC?

2x

AC

＝3，
∴x=3
即∴BC=3
故：（1）（2）略
（3）BC=3