Question

如图，已知△ABC是等边三角形，D为AC边上的一个动点，DG∥AB，延长AB到E，使BE=CD，连结DE交BC于F。

如图，已知△ABC是等边三角形，D为AC边上的一个动点，DG∥AB，延长AB到E，使BE=CD，连结DE交BC于F。 （1）求证：DF=EF；（2）若△ABC的边长为a，BE的长为b，且a、b满足 ，求BF的长；（3）若△ABC的边长为5，设CD=x，BF=y，求y与x间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围。

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Answer 1

（1）证明：∵ △ABC是等边三角形                     ∴∠A=∠B=60°                   又 ∵ DG∥AB                ∴∠CDG=∠A=60°，∠CGD=∠B=60°               且∠GDF=∠E                 ∴△CDG是等边三角形                  ∴ DG=CD=BE                  在△DGF和△EBF中                                 ∴△DGF≌△EBF（AAS）              ∴DF=EF （2）解：由 ，得（a-5） 2 +（b-3） 2 =0                  ∵（a-5） 2 ≥ 0 ，（b-3） 2 ≥ 0                 ∴（a-5） 2 =0 ，（b-3） 2 =0                 ∴ a=5，b=3 ，即：BC=5，CG=BE=3                 又∵ △DGF≌△EBF，∴ BF=GF                  ∴ （3）解：∵ CD=x，BF=y ，BC=5               又∵                ∴所求的解析式               自变量x的取值范围是0＜x＜5。