Question

设a为实数，函数f（x）=2x 2 +（x-a）|x-a|．（1）当a=1时，判断函数f（x）在（1，+∞）的单调性并用定义

设a为实数，函数f（x）=2x 2 +（x-a）|x-a|．（1）当a=1时，判断函数f（x）在（1，+∞）的单调性并用定义证明；（2）求f（x）的最小值．

Answer 1

（1）当a=1，x＞1时，f（x）=2x 2 +（x-1）|x-1|=2x 2 +（x-1） 2 =3x 2 -2x+1，…（1分） 则函数f（x）在（1，+∞）上单调递增． 证明：设1＜x 1 ＜x 2 ，由于f（x 1 ）-f（x 2 ）= 3 x 1 2 -2 x 1 +1 -(3 x 2 2 -2 x 2 +1) =（x 1 -x 2 ）[3（x 1 +x 2 ）-2]，…（4分） ∵x 1 ＜x 2 ，∴x 1 -x 2 ＜0，∵1＜x 1 ＜x 2 ，∴x 1 +x 2 ＞2，从而得3（x 1 +x 2 ）-2＞0， ∴f（x 1 ）-f（x 2 ）＜0，故函数f（x）在（1，+∞）上单调递增．…（6分） （2）∵当x≥a时，f（x）=3x 2 -2ax+a 2 ，…（7分） 故 f(x ) min = f(a)，a≥0 f( a 3 )，a＜0 = 2 a 2 ，a≥0 2 a 2 3 ，a＜0 ．…（9分） 当x≤a时，f（x）=x 2 +2ax-a 2 ，…（10分） f(x ) min = f(-a)，a≥0 f(a)，a＜0 = -2 a 2 ，a≥0 2 a 2 ，a＜0 ．…（12分） 综上， f(x ) min = -2 a 2 ，a≥0 2 a 2 3 ，a＜0 ．…（14分）