Question

在△ABC中，角A、B、C所对的边分别是a、b、c满足：cosAcosC+sinAsinC+cosB=32，且a，b，c成等比数列，（1

在△ABC中，角A、B、C所对的边分别是a、b、c满足：cosAcosC+sinAsinC+cosB=32，且a，b，c成等比数列，（1）求角B的大小；（2）若atanA+ctanC=2btanB，a=2，求三角形ABC的面积．

Answer 1

（1）∵cosAcosC+sinAsinC+cosB=

3

2

，∴2sinAsinC=

3

2

．
又∵b²=ac?sin²B=sinAsinC，∴2sin2B=

3

2

．
而a，b，c成等比数列，所以b不是最大，故B为锐角，所以B=60°．
（2）由

a

tanA

+

c

tanC

=

2b

tanB

，可得

acosA

sinA

+

ccosC

sinC

=

2bcosB

sinB

，
所以cosA+cosC=2cosB=1，又因为A+C=

2π

3

，∴A=C=

π

3

，
所以三角形ABC是等边三角形，由a=2所以面积为

3

．