Question

用定义证明 lim x→2 (x^2) = 4

Answer 1

lim(x-->2) (x^2 - 4) = lim(x-->2) (x 2)*(x-2)

因为x 2和x-2在x-->2连续，所以lim(x-->2) (x 2)*(x-2) = lim(x-->2) (x 2)* lim(x-->2) (x-2) = (2 2)*(2-2) = 0

所以lim(x-->2) (x^2 - 4) = 0

即当x趋近于2时，x^2的极限等于4

求极限基本方法有

1、分式中，分子分母同除以最高次，化无穷大为无穷小计算，无穷小直接以0代入；

2、无穷大根式减去无穷大根式时，分子有理化；

3、运用洛必达法则，但是洛必达法则的运用条件是化成无穷大比无穷大，或无穷小比无穷小，分子分母还必须是连续可导函数。

Answer 2

lim(x-->2) (x^2 - 4) = lim(x-->2) (x 2)*(x-2)

因为x 2和x-2在x-->2连续，所以lim(x-->2) (x 2)*(x-2) = lim(x-->2) (x 2)* lim(x-->2) (x-2) = (2 2)*(2-2) = 0

所以lim(x-->2) (x^2 - 4) = 0

即当x趋近于2时，x^2的极限等于4

扩展资料：

极限的求法有很多种：

1、连续初等函数，在定义域范围内求极限，可以将该点直接代入得极限值，因为连续函数的极限值就等于在该点的函数值

2、利用恒等变形消去零因子（针对于0/0型）

3、利用无穷大与无穷小的关系求极限

4、利用无穷小的性质求极限

5、利用等价无穷小替换求极限，可以将原式化简计算

6、利用两个极限存在准则，求极限，有的题目也可以考虑用放大缩小，再用夹逼定理的方法求极限

7、利用两个重要极限公式求极限

Answer 3

方法一
lim(x-->2) (x^2 - 4) = lim(x-->2) (x 2)*(x-2)
因为x 2和x-2在x-->2连续,所以lim(x-->2) (x 2)*(x-2) = lim(x-->2) (x 2)* lim(x-->2) (x-2) = (2 2)*(2-2) = 0
所以lim(x-->2) (x^2 - 4) = 0
即当x趋近于2时,x^2的极限等于4
方法二
证明：首先,限定1<x<3,|x 2|对任意的ε>0,取δ=min{ε/5,1}
则当0<|x-2|<δ,时,有
|x²-2²|=|x 2||x-2|<5|x-2|<ε
成立.所以lim(x趋近于2)x^2=4

Answer 4

方法一
lim(x-->2) (x^2 - 4) = lim(x-->2) (x 2)*(x-2)
因为x 2和x-2在x-->2连续,所以lim(x-->2) (x 2)*(x-2) = lim(x-->2) (x 2)* lim(x-->2) (x-2) = (2 2)*(2-2) = 0
所以lim(x-->2) (x^2 - 4) = 0
即当x趋近于2时,x^2的极限等于4
方法二
证明：首先,限定1<x<3,|x 2|对任意的ε>0,取δ=min{ε/5,1}
则当0<|x-2|<δ,时,有
|x²-2²|=|x 2||x-2|<5|x-2|<ε
成立.所以lim(x趋近于2)x^2=4

Answer 5

方法一
lim(x-->2) (x^2 - 4) = lim(x-->2) (x 2)*(x-2)
因为x 2和x-2在x-->2连续,所以lim(x-->2) (x 2)*(x-2) = lim(x-->2) (x 2)* lim(x-->2) (x-2) = (2 2)*(2-2) = 0
所以lim(x-->2) (x^2 - 4) = 0
即当x趋近于2时,x^2的极限等于4
方法二
证明：首先,限定1<x<3,|x 2|对任意的ε>0,取δ=min{ε/5,1}
则当0<|x-2|<δ,时,有
|x²-2²|=|x 2||x-2|<5|x-2|<ε
成立.所以lim(x趋近于2)x^2=4