Question

设级数∑（un）^2收敛，证明∑(un+un+1)也收敛

设级数∑（un）^2收敛，证明∑(un+un+1)也收敛

Answer 1

1、任意加上或去掉级数的有限想不改变它的收敛性。

2、若级数∑an收敛，级数∑bn收敛，则级数∑（an+bn）也收敛。

通项拆为两部分Un和U(n+1)，已知∑Un收敛，而∑U(n+1)只是比∑Un少一项U1，去掉级数的有限项是不改变收敛性的，所以∑U(n+1)也收敛，再利用级数的性质，∑(Un+U(n+1))收敛。

扩展资料

数收敛定义方式与数列收敛类似。柯西收敛准则：关于函数f(x)在点x0处的收敛定义。对于任意实数b>0,存在c>0,对任意x1,x2满足0<|x1-x0|<c,0<|x2-x0|<c,有|f(x1)-f(x2)|<b。

在数学分析中，与收敛（convergence)相对的概念就是发散(divergence)。发散级数（英语：Divergent Series）指（按柯西意义下）不收敛的级数。如级数1+2+3+4+……。

Answer 2

∑ u^2 与 ∑ v^2收敛 证明级数∑ uv收敛 因为∑ u^2 与 ∑ v^2收敛， 则∑ u^2 + ∑ v^2收敛 而∑ （u^2 + v^2）>=2∑uv 则∑ uv收敛 设级数∑ u 绝对收敛 证明∑u^2收敛 ∑ u 绝对收敛，则∑|u|收敛, 则有:|Un|/|Un-1|=r 因为此时为正项数列不可能为

Answer 3

第一个命题正确，若级数收敛，则Un极限为0.很好证明，limSn=A,limS(n-1)=A
Un=Sn-S(n-1),则limUn=lim(Sn-S(n-1))=A-A=0.
第一个命题是其逆否命题，是等价的。
第二个命题是假命题。举例：通项为(-1)^n / √n.这是个交错级数，根据莱布尼茨判别法可以知道收敛。但是un^2为1/n,调和级数，显然发散

Answer 4

命题是错误的，比如取un=1/n

Answer 5

第一个命题正确，若级数收敛，则Un极限为0.很好证明，limSn=A,limS(n-1)=A
Un=Sn-S(n-1),则limUn=lim(Sn-S(n-1))=A-A=0.
第一个命题是其逆否命题，是等价的。
第二个命题是假命题。举例：通项为(-1)^n / √n.这是个交错级数，根据莱布尼茨判别法可以知道收敛。但是un^2为1/n,调和级数，显然发散