Question

试求方程x+y=x^2-xy+y^2的整数解

如题

Answer 1

首先因为x^2-xy+y^2=(x-0.5y)^2+0.75y^2≥0，现在题目说x+y=x^2-xy+y^2，所以x+y>=0。
下面说明如果原方程有整数解，那么解不可能出现负数。否则，假设y<0.而x+y>=0,故xy<=0，因而x^2-xy+y^2>=x^2+y^2，所以x>x+y>=x^2+y^2，但x是整数，所以必有x<=x^2，而y^2>0，故得到x<= x^2+y^2，矛盾！同理，x也不可能是负数。于是x>=0,y>=0。
在x+y=x^2-xy+y^2两边同时乘以x+y，得到(x+y)^2=x^3+y^3，但是要注意到如果x,y都大于2的话，那么x^3+y^3=x*x^2+y*y^2>2x^2+2y^2，而（2x^2+2y^2）－(x+y)^2=(x-y)^2>=0。因而x^3+y^3>2x^2+2y^2>=(x+y)^2，所以此时方程无整数解！从而可知x,y中至少有一个不超过2.。先假设x不超过2，但x又是非负整数，那么它只可能取0，1或2。分别代入原方程解得x=0,y=0或x=0,y=1或x=1,y=0或x=1,y=2或x=2,y=1或x=2,y=2。同理假设y不超过2,也可得到(或由x,y的对称性得) x=0,y=0或x=0,y=1或x=1,y=0或x=1,y=2或x=2,y=1或x=2,y=2。
所以原不定方程的所有整数解为x=0,y=0或x=0,y=1或x=1,y=0或x=1,y=2或x=2,y=1或x=2,y=2。一共有六组。

Answer 2

首先因为x^2-xy+y^2=(x-0.5y)^2+0.75y^2≥0，现在题目说x+y=x^2-xy+y^2，所以x+y>=0。
下面首先因为x^2-xy+y^2=(x-0.5y)^2+0.75y^2≥0，现在题目说x+y=x^2-xy+y^2，所以x+y>=0。 下面说明如果原方程有整数解，那么解不可能出现负数。否则，假设y<0.而x+y>=0,故xy<=0，因而x^2-xy+y^2>=x^2+y^2，所以x>x+y>=x^2+y^2，但x是整数，所以必有x<=x^2，而y^2>0，故得到x<= x^2+y^2，矛盾！同理，x…如果原方程有整数解，那么解不可能出现负数。否则，假设y<0.而x+y>=0,故xy<=0，因而x^2-xy+y^2>=x^2+y^2，所以x>x+y>=x^2+y^2，但x是整数，所以必有x<=x^2，而y^2>0，故得到x<= x^2+y^2，矛盾！同理，x也不可能是负数。于是x>=0,y>=0。
在x+y=x^2-xy+y^2两边同时乘以x+y，得到(x+y)^2=x^3+y^3，但是要注意到如果x,y都大于2的话，那么x^3+y^3=x*x^2+y*y^2>2x^2+2y^2，而（2x^2+2y^2）－(x+y)^2=(x-y)^2>=0。因而x^3+y^3>2x^2+2y^2>=(x+y)^2，所以此时方程无整数解！从而可知x,y中至少有一个不超过2.。先假设x不超过2，但x又是非负整数，那么它只可能取0，1或2。分别代入原方程解得x=0,y=0或x=0,y=1或x=1,y=0或x=1,y=2或x=2,y=1或x=2,y=2。同理假设y不超过2,也可得到(或由x,y的对称性得) x=0,y=0或x=0,y=1或x=1,y=0或x=1,y=2或x=2,y=1或x=2,y=2。
所以原不定方程的所有整数解为x=0,y=0或x=0,y=1或x=1,y=0或x=1,y=2或x=2,y=1或x=2,y=2。一共有六组。

Answer 3

用y表示x
x^2-(y+1)x+y^2-y=0
因为有解，所以判别式不小于0
所以(y+1)^2-4(y^2-y)>=0
解这个不等式，就能得到y的整数解是0,1,2
分别代入
y=0时，x=1或x=0
y=1时，x=2或x=0
y=2时，x=1或x=2
所以一共6组解