Question

二次函数f(x)=ax^2+ bx+ c(a≠0)满足f(x+1)-f(x)=2x且f(0)=1

（1）求f(x)的解析式

（2）区间[-1,1]上，不等式f(x)>2x+m恒成立，求m的范围

Answer 1

1）由f(0)=1得f(x)=ax²+bx+1
f(x+1)-f(x)=a(2x+1)+b=2ax+a+b=2x
则2a=2, a+b=0
得a=1, b=-1
故f(x)=x²-x+1
2) x²-x+1>2x+m, 在[-1, 1]上恒成立
即m<x²-3x+1
记g(x)=x²-3x+1=(x-3/2)²-5/4 , 它在[-1,1]上单调减，最小值为g(1)=-1
而m<g(x)
所以m<-1