Question

巧算数学题，高手进来看！

巧算：二分之一+三分之一+三分之二+四分之一+四分之二+四分之三+五分之一+五分之二+五分之三+五分之四+···+四十分之一+四十分之二+···+四十分之三十八+四十分之三十九

过程要清晰

Answer 1

分母为2的有
二分之一，和为1/2

分母为3的有
1/3，2/3，和为2/2

分母为4的有
1/4，2/4，3/4
和为3/2

。。。。
可看出同分母的数之和的分母都为2
分子为原分母-1

即分母为40的数有
1/40，2/40。。。。。39/40
和为39/2

所以
1/2 +1/3 +2/3+。。。。39/40
=1/2+2/2+3/2+39/2
=（1+2+。。。+39）/2

1+。。。+39=（（1+39）*39）/2————（高斯算法）
所以1+2+。。。+39=780

所以

1/2 +1/3 +2/3+。。。。39/40
=1/2+2/2+3/2+39/2
=（1+2+。。。+39）/2
=780/2
=390

Answer 2

*代表乘号
1/2+(1/3+2/3)+(1/4+2/4+3/4)+（1/5+2/5+3/5+4/5）+...+
(1/40+2/40+...+39/40)
=1/2 +1 + （1+1/2）+ （1+1）+（1+1+1/2） +...+（1+1..1+1/2）
=（1/2）*1+（1/2）*2 +（1/2）*3+（1/2）*4+（1/2）*5+...++（1/2）*39
=（1/2）*[1+2+3+...+39]
=（1/2）*780
=390

Answer 3

可以写出上试中的通式为：∑(N-1)/2 (N为上试中的分母) 其中N的值是[2,40]

可以看出后一项减去前一项的值是固定的,即

[(N+1)-1]/2 - (N-1)/2 =1/2

就是(1/3+2/3)-1/2=1/2......(1/4+2/4+3/4)-(1/3+2/3)=1/2....

简单的说就是有递增关系,分母为3的总和比分母为2的总和多1/2，不知道这么说你明不明白
所以上试可以简化为:1/2+2/2+3/2+4/2+5/2+......+39/2=390

Answer 4

二分之一+（三分之一+三分之二）+（四分之一+四分之二+四分之三）+（五分之一+五分之二+五分之三+五分之四）+···+（四十分之一+四十分之二+···+四十分之三十八+四十分之三十九）（每个括号里面的值为最大分子数除以二）
=二分之一+（二分之二）+（二分之三）+（二分之四）+……+（二分之三十九）
=19×（40/2）+20/2
=380+10=390

Answer 5

按照分母分组，对于每一组，都是以n为分母，以1 2 ... n-1为分子的一系列分数和
分子的和=1/2*(1+n-1)(n-1)=1/2n(n-1)
每组和 = 1/2n(n-1)/n=1/2(n-1)
从n=2 加到n=m
总和=1/2(1+2+...+m-1)=1/2[1/2(1+m-1)(m-1)]=1/4m(m-1)
m=40
1/4*40*(40-1)=390