Question

若函数f(x)=根号下(kx^2-6x+k+8)的定义域为[-7,1]，求实数k值

Answer 1

要使f(x)在定义域上有意义，必须使kx2-6x+k+8≥0
当k=0时，就有-6x+8≥0，求得x≤4/3，即f(x)的定义域为(-∞，4/3],显然与题目不符。
当k＞0时，令Y(x)= kx²-6x+k+8，显然函数Y(x)的开口向上，其定义域绝不单是[-7,1],因此不符合题意。
当k＜0时，函数Y(x)= kx²-6x+k+8的开口向下，且与x轴有两个交点，即(-7,0)和(1,0)，于是有
K1(-7)² – 6(-7) + k + 8=0，解得k1=-1
K2(1)² – 6(1) + k + 8=0，解得k2=-1
从而就有 k=k1=k2 = -1
另外，上述中提到函数Y(x)与x轴有两个交点，因此必须满足b²-4ac＞0，即0＜6²-4k(k+8)=36-4(-1)(-1+8)=64,显然符合题意。
综上所述，k=-1

Answer 2

函数的定义域就是根号下的函数表达式>=0
所以kx^2-6x+k+8>=0可以接的[-7,1]，多以-7、和1为方程kx^2-6x+k+8=0的根
当k＞0时，令Y(x)= kx²-6x+k+8，显然函数Y(x)的开口向上，其定义域绝不单是[-7,1],因此不符合题意。
当k＜0时，函数Y(x)= kx²-6x+k+8的开口向下，且与x轴有两个交点，即(-7,0)和(1,0)，于是有
K1(-7)² – 6(-7) + k + 8=0，解得k1=-1
K2(1)² – 6(1) + k + 8=0，解得k2=-1
从而就有 k=k1=k2 = -1