Question

帮忙解三角题

在△ABC中，C=90°，P为三角形内一点，且S△PAB=S△PBC=S△PCA
求证 PA²+PB²=5PC²

Answer 1

把△ABC放入直角坐标系第一象限，并使C点和原点重合，CA和x轴重合，CB与y轴重合。则C点坐标为(0,0)；A点坐标为(Xa,0),且Xa=|CA|；B点坐标为(0,Yb),且Yb=|CB|。
由S△PAB＝S△PBC=S△PCA＝S△ABC/3,知，
P点坐标为(Xa/3,Yb/3)
由两点距离公式，有
│PA│^2＝(Xa/3-Xa)^2+(Yb/3-0)^2=(4/9)*Xa^2+(1/9)*Yb^2
│PB│^2＝(Xa/3-0)^2+(Yb/3-Yb)^2=(1/9)*Xa^2+(4/9)*Yb^2
│PC│^2＝(Xa/3-0)^2+(Yb/3-0)^2=(1/9)*Xa^2+(1/9)*Yb^2
于是结论显而易见，即
│PA│^2+│PB│^2=5│PC│^2