Question

数学函数题

设f(x)=x^2,g(x)=8x,数列｛an}(n属于N*）满足a1=2,(an+1-an)*g(an-1+f(an-1)=0，记bn=7/8(n+1)(an-1)
(1)求证数列｛an-1}是等比数列；
（2）当n为何值时，bn取得最大值，并求此最大值；
（3）求数列{bn}的前n项和sn

Answer 1

1.
(A(n+1)-An)×8(A(n)-1)+(A(n)-1)^2=0
(A(n)-1)×(8A(n+1)-8An+An-1)=0
(A(n)-1)×(8A(n+1)-7A(n)-1)=0
An=1或8A(n+1)-7An=1
A1=2 An=1不符合题意，舍去
8A(n+1)-7An=1
8A(n+1)-8=7A(n)-7
[A(n+1)-1]/[A(n)-1]=7/8
{A(n)-1}是公比为7/8的等比数列

2.
A1-1=2-1=1
A(n)-1=(7/8)^(n-1)
Bn=7/8×(n+1)×(A(n)-1)
=(n+1)×(7/8)^n
Bn取最大值
Bn>=B(n-1)且Bn>=B(n+1)
(n+1)×(7/8)^n>=n×(7/8)^(n-1)
7n+7>=8n
n<=7
同理可得Bn>=B(n+1)的条件是n>=6
B6=B7=7×(7/8)^6

3.
Sn=B1+B2+……+Bn
=2×(7/8)+3×(7/8)^2+……+(n+1)×(7/8)^n
两边同乘公比7/8
(7/8)Sn=2×(7/8)^2+3×(7/8)^3+……+(n+1)×(7/8)^(n+1)
两式错位相减
Sn-(7/8)Sn=7/4+[(7/8)^2+(7/8)^3+……+(7/8)^n]-(n+1)×(7/8)^(n+1)
=7/4+(7/8)^2×(1-(7/8)^(n-1))/(1-7/8)-(n+1)×(7/8)^(n+1)
=63/8-(n+9)×(7/8)^(n+1)
Sn=63-8(n+9)×(7/8)^(n+1)