Question

如图，已知△ABC的周长是20，OB，OC分别平分角ABC和角ACB，OD垂直BC于D，且OD=3

如图，已知△ABC的周长是20，OB，OC分别平分角ABC和角ACB，OD垂直BC于D，且OD=3，求三角形ABC的面积。

Answer 1

添加如图辅助线

Answer 2

连接OA，因为三个角角平分线交于一点，根据角平分线性质定理，则构成了三个三角形，各三角形的高相等，设AB=X,BC=Y,CA=Z,所以X+Y+Z=20,各个高相等，所以高都等于OD=3，所以面积：（X×3+Y×3+Z×3）×1/2=（X+Y+Z）×3×1/2=20×3×1/2=30

Answer 3

追答

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Answer 4

连接OA 做OE⊥AC,做OF⊥AB，
因为OC 是角BCA的角平分线，所以OD=OE，同理OD=OF
三角形ABC的面积等于S△BOC+S△AOC+S△AOB=1/2BC×OD+1/2AC×OE+1/2AB×OF=1/2（AB+BC+AC）×OD=1/2×△ABC周长×3=1/2×20×3=30

Answer 5

从O向AC做垂线，交AC于E，则三角形OCD与三角形OCE全等（两角一夹边OC），同理做OF垂直于AB，交AB于F，则OD=OE=OF
由此，三角形ABC的面积=三角形(AOC+AOB+BOC)面积的和=1/2*AC*OE+1/2*AB*OF+1/2*BC*OD(由于OD=OE=OF，提出来)
=1/2*(AC+AB+BC)*OD=30