Question

关于函数奇偶性的求解

（有4道题）谢啦！
1.函数f(x）=ax²+bx+3a+b是偶函数，且定义域为[a-1,2a],则a+b=
2.定义在R上的奇函数f(x)满足f(x+2)=-f(x),则f(6)=
3.函数f(x)满足f(x）×f(x+2）=13，若f(1)=2,则f(99)=
4.已知定义在R上的函数f（x)是偶函数,且在[0,+∞）上递增，A（-2,4） 是其图像上的点，则不等式f（x+2)＜4的解集是

Answer 1

1.
为偶函数，故f(-x)=f(x)；
ax²+bx+3a+b=ax²-bx+3a+b
b=0
定义域也关于原点对称，故a-1=-2a
a=1/3
a+b=1/3

2.
奇函数必过原点，故f(0)=0
f(0+2)=-f(0)=0=f(2)
f(4)=f(2+2)=-f(2)=0
f(6)=f(4+2)=-f(4)=0

3.
f(x）×f(x+2）=13,即f(x+2)=13/f(x)
f(x+4)=13/f(x+2)=f(x)
故f(x)为周期4的周期函数
f(99)=f(3+4×24)=f(3)=13/f(1)=13/2

4.
函数在[0,+∞）上递增，那么在(+∞,0]）上递减
A（-2,4）位于图像上，即f(-2)=4,故f(2)=f(-2)=4
f(x+2)＜4
-2<(x+2)<2
-4<x<0

Answer 2

1：偶函数则奇次项系数为0
∴b=0,∵定义域对称，∴－2a=a-1 a=1/3
∴a=b=1/3

2:奇函数则f(0)=0
∴f(6)=－f(4)=f(2)=－f(0)=0

3:列出前面几项：f(3)=13/2 f(5)=2 f(7)=13/2 f(9)=2......
得出规律：f(4k-1)=13/2 f(4k-3)=2 k∈整数
∵99=4×25-1 ∴f(99)=13/2

4:由题意：f(－2)=4=f(2)
∵f（x)是偶函数,且在[0,+∞）上递增
∴在（－∞,0）递减
原不等式即为：f(x+2)<f(2)
结合图象得：－2<x+2<2
－4<x<0