Question

高中数学圆锥曲线问题2

1.M是抛物线y^2=x上一动点,以OM为一边做正方形MNPO,求动点P的轨迹方程

2.过抛物线y^2=4X的顶点O做相互垂直的弦OA.OB,求抛物线顶点O在AB上的射影M的轨迹方程

3.已知定点A(a,0),其中0<a<3，它到椭圆x^2/9+y^2/4=1上的点的距离的最小值为1，求a的值

4.求过点M(1.2),以y轴为准线,离心率为1\2的椭圆的左顶点.

Answer 1

1.设点M为(t^2，t)，则P为(t,t^2)即可求出y=-x^2

Answer 2

1、M是抛物线y^2=x上一动点，以OM为一边做正方形MNPO，求动点P的轨迹方程。

题意不明确，以OM为边的正方形OMNP有顺时针和逆时针两种情形。
设M(x0, y0)，P(x, y)，如果正方形OMNP是逆时针，那么OM逆时针旋转π/2就得到OP，于是P=(-y0, x0)。（可以这样理解，OM对应的复平面上的向量为x0+y0*i，逆时针旋转π/2即是乘以i，所以OP的向量为(x0+y0*i)*i=-y0+x*i，用坐标表示就是(-y0, x0)），即x=-y0，y=x0，因为x0=y0^2，所以P的轨迹方程为y=x0^2。
如果正方形OMNP是顺时针，那么P=(y0, -x0)，轨迹方程为-y=x0^2。

2、过抛物线y^2=4x的顶点O做相互垂直的弦OA、OB，求抛物线顶点O在AB上的射影M的轨迹方程。

这里利用一个结论：
过抛物线y^2=2px的顶点O做相互垂直的弦OA、OB，点A、B都在抛物线上，则直线AB一定经过点C(4p, 0)（不是焦点）。 （这是一个比较常用的结论，很多书上都有，如果不明白，可以参见附在后面的证明）

M、C、A、B共线，OM⊥AB即OM⊥CM，
故点M在以OC为直径的圆上，OC中点为(4, 0)，所以点M的轨迹方程为(x-4)^2+y^2=4^2。

如果平面几何不熟悉，可以这样理解：
设M(x0, y0)，M、C、A、B共线，OM⊥CM，
OM·CM=0（内积为0），
即 (x0, y0)·(x0-8, y0)=0，（此处C=(8, 0)）
x0*(x0-8)+ y0* y0=0，
(x0-4)^2+y0^2=16，
M的轨迹方程为 (x-4)^2+y^2=16。

3、已知定点A(a, 0)，其中0<a<3，它到椭圆x^2/9+y^2/4=1上的点的距离的最小值为1，求a的值。

最简单的方法是图像法，画出椭圆的大致图像，然后大致画出等距线（距离为1），有两条（内外各一条），在x轴上与之相距1的点有4个(-4, 0)、(-2, 0)、(2, 0)、(4, 0)，其中横坐标在(0, 3)之间的点只有(2, 0)，故a=2。

如果当作解答题来做会比较麻烦。任取椭圆上一点P(3*cos θ, 2*sinθ)，
PA^2=(3*cos θ-a)^2+(sinθ)^2=3+a^2-6a*cos θ，
因为a>0，当cos θ=1时PA^2取得最小值，所以P点坐标为(3, 0)，于是由A与之相距1且a<3知a=2。

4、求过点M(1, 2)，以y轴为准线，离心率为1/2的椭圆的左顶点。

此题有误，既然不是标准的椭圆，椭圆中心也就不一定在x轴上，那么，这样的椭圆有无穷多个（焦点也有无穷多个，顶点自然无法确定）

一个用到的结论的证明：

过抛物线y^2=2px的顶点O做相互垂直的弦OA、OB，点A、B都在抛物线上，则直线AB一定经过点C(p, 0)（不是焦点）。

证：
设A(x1, y1)，B(x2, y2)，斜率为k，X(x0, y0)是直线AB上任意一点。
由OA⊥OB得，OA·OB=0，所以 (x1, y1)·(x2, y2)=0，
x1x2+y1y2=0，
x1x2=-y1y2。 ……①
点A、B在抛物线上，所以
x1=y1^2/2p，x2^2=y2^2/2p， ……②
两式相乘，x1x2=y1^2y2^2/(4p^2)，
由①得：-y1y2=y1^2y2^2/(4p^2)，
显然 y1y2≠0，所以，y1y2=-4p^2， ……③
②中两式相减得：x2-x1=(y2^2-y1^2)/2p=(y2+y1)(y2-y1)/2p，
所以，k=(y2-y1)/(x2-x1)=2p/(y2+y1)，
所以，(y2+y1)=2p/k。 ……④
④平方-2*③得，y^2+y1^2=4p^2/k^2+8p^2，
②中两式相加得，x2+x1=(y2^2+y1^2)/2p=(4p^2/k^2+8p^2)/2p，
故 x2+x1=2p/k^2+4p。 ……⑤

由A、B、X共线得：
k=(y2-y0)/(x2-x0)=(y1-y0)/(x1-x0)，
由合分比定律，k=(y2+y1-2y0)/(x2+x1-2x0)。 ……⑥

把④、⑤代入⑥得，
k=(2p/k-2y0)/(2p^2/k+4p-2x0)
k=(2p*k-2y0*k^2)/(2p+(4p-2x0)*k^2)
k=k(p-y0*k)/(p^2+(4p-x0)*k^2)
显然，k≠0，所以，1=(p-y0*k)/(p+(4p-x0)*k^2)
p-y0*k=p+(4p-x0)*k^2
y0*k=(4p-x0)*k^2
y0=(4p-x0)*k （k≠0）
由于X(x0, y0)是直线AB上任意一点，故直线AB的方程为：
y=(4p-x)*k （k≠0）
当x=4p, y=0时，不论k取何值，上式都成立，即直线AB总是通过点C(4p, 0)。