Question

设随机变量(x,y)在D上服从均匀分布其中d为直线x=0,y=0,x=2,y=2围成的区域

设随机变量(x,y)在D上服从均匀分布其中d为直线x=0,y=0,x=2,y=2围成的区域设随机变量(x,y)在D上服从均匀分布其中d为直线x=0,y=0,x=2,y=2围成的区域，求x-y的分布函数及概率密度函数

Answer 1

f(x,y) = 1/4  (x,y) 在D上.

f(x,y) = 0     在其它点.

设Z = X-Y,

设G表示区域:x-y <= z  , 或  y>=x-z  (z为任意实数)

即G为直线 y=x-z 上方的平面部分.

则FZ(z) = P(Z<=z ) = P(X- Y<=z)= f(x,y)在G上的二重积分.

由于是均匀分布,故实际上只用到G与D的交集的面积的计算.

得: z<-2 时: FZ(z) = 0 ;     ( G与D交集为空).

    -2<=z <0,  FZ(z) = (1/4)*(1/2)(2+z)^2 = (1/8)(2+z)^2   (图中三角形ABC的面积:(1/2)(2+z)^2)

      0<=z <2 , FZ(z) = (1/4)[4- (1/2)(z-z)^2] = 1-(1/8)(2-z)^2  

        [(4- (1/2)(z-z)^2]为图中五边形AODEFA 面积,用正方形面积减去三角形DEH的面积.]

      z>=2   FZ(z) = (1/4)*4 =1        ( G与D的交集为D.)

整理: z<-2,        FZ(z) =0,

      -2<=z<0     FZ(z) =(1/8)(2+z)^2

     0<=z<2      FZ(z) =1- (1/8)(2-z)^2

     z>=2         FZ(z) = 1

求导,得 密度  fZ(z)

|z| >2          fZ(z)= 0;

-2<z<0        fZ(z) =(1/4)(2+z)

0<=z<2       fZ(z) =(1/4)(2-z)