Question

对于任意非零实数x,y.已知函数y=f(x)(x不为0）满足f(xy)=f(x)+f(y).

第1问：判断y=f(x)的奇偶性
第2问：且当x>1时，f(x)>0,f(2)=1,解不等式f(2x.x-1)<2
第2问中的" .'' 表示乘号.

Answer 1

1、令x=1，y=1，则f（1）=f（1）+f（1），得f（1）=0
令x=-1，y=-1，则f（1)=f(-1)+f(-1),得f（-1）=0
令y=-1，则f（-x）=f（x）+f（-1)
所以
f（x）=f（-x）
即y=f（x）是偶函数

2、f(2)=1，则f（4）=f（2）+f（2）=2
因为是偶函数，所以f（-4）=2
所以-4<2x.x-1<4且2x.x-1≠0
0<=x^2<5/2且x^2≠1/2
得-√10/2<x<√10/2,且x=±√2/2
所以不等式的解为（-√10/2，-√2/2）U（-√2/2，√2/2）U（√2/2，√10/2）

Answer 2

1·为奇函数，可以令x=y=1，即f(1)=f(1）+f（1），即f(1)=0,又令x=y=-1,即f(1)=f(-1)+f(-1),那么f(-1)=0,最后令x=x，y=-1，即f(-x)=f(x)+f(-1),
就是f(-x)=f(x)，所以为偶函数