Question

已知函数y=f(x)(x≠0)对于任意x,y∈R，且x,y≠0。满足f(xy)=f(x)+f(y)

1) 求证：f(1)=f(-1)=0
2)求证：y=f(x)为偶函数
3)若y=f(x)在（0，+无穷）上是增函数，解不灯市f(x)+f(x-1/2)≤0

要过程、

Answer 1

（1）令x=y=-1，所以f(1)=f(-1)+f(-1)，所以2f(-1)=0，所以f(-1)=0
(2)f(-x)=f(-1*x)=f(-1)+f(x)=f(x)，所以f(x)为偶函数
(3)f(x)+f(x-1/2)=f(x*(x-1/2))=f(x²-1/2x）≤0
∵f(x)为偶函数且f(1)=f(-1)=0
∴-1≤ x²-1/2x≤1
即x≥（1+√17）/4或x≤（1-√17）/4.

Answer 2

1】令x=y=1
f(1*1)=f(1)+f(1) so f(1)=0
令x=y=-1
f(-1*-1)=f(-1)+f(-1) 因为f(1)=0 所以f(-1)=0

2】令x=y=a∈R
f(a*a)=f(a)+f(a)=2f(a)
令x=y=-a∈R
f(a*a)=f(-a)+f(-a)=2f(-a)=2f(a)
因为 x∈R
所以 f(x)=f(-x)

3】
f(x)+f(x-1/2)=f(x*(x-1/2))=f(x^2-1/2x)≤0
因为f(x)为偶函数且f(1)=f(-1)=0
所以 -1≤ x^2-1/2x≤1
剩下请自解